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Du 25 au 27 mars 2024 – Amphi 7, Bâtiment Victor Grignard, Campus de la FST, Vandœuvre-lès-Nancy.

 

 

Conférenciers et titres des exposés

 

Marianne Bessemoulin-Chatard (CNRS & Université de Nantes) Hypocoercivité discrète pour un modèle cinétique non-linéaire de réaction
Fabien Caubet (Université de Pau et des Pays de l’Adour) Optimisation de forme pour des problèmes de contact
Gisella Croce (Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne) Des résultats de rupture de symétrie
Charles Dapogny (Université Grenoble Alpes) Optimisation de la forme des régions portant les conditions aux limites d’un problème physique
Alessandro Duca (Inria & Université de Lorraine) Contrôlabilité globale en temps petit de l’équation de la chaleur non-linéaire via des contrôles bilinéaires
Louise Gassot (CNRS & Université de Rennes 1) Limite sans dispersion pour l’équation de Benjamin-Ono
Marguerite Gisclon (Université Savoie Mont Blanc) Sur un système modélisant une colonne d’adsorption non isotherme à une seule espèce
Camille Laurent (CNRS & Sorbonne Université) Prolongement unique pour l’opérateur de Schrödinger
Benoît Merlet (Université de Lille) À propos de la fonctionnelle d’Aviles–Giga non orientée. Travail conjoint avec Michael Goldman, Marc Pegon et Sylvia Serfaty
Luc Molinet (Université de Tours) Quelques remarques autour de l’équation de KP-I
Victor Nistor (Université de Lorraine) Estimations uniformes pour équations elliptiques avec des coefficients aléatoires log-normaux
Charlotte Perrin (CNRS & Université d’Aix-Marseille)

 

 

Liste des exposés dans l’ordre chronologique

  • Marguerite Gisclon, Sur un système modélisant une colonne d’adsorption non isotherme à une seule espèce

Dans cet exposé, une étude d’un modèle mathématique décrivant une colonne d’adsorption non isotherme sans diffusion axiale, avec une seule espèce gazeuse et un fonctionnement adiabatique sera présentée. Ce modèle montre un couplage entre les concentrations des phases gazeuse et adsorbée et la température par la vitesse du gaz. Cette vitesse n’est pas supposée constante et est donc une inconnue (effet de sorption). De plus une contrainte sur la pression totale est nécessaire pour fermer le système d’équations.

Un résultat d’existence et d’unicité dans un cadre variationnel sera donné. Le cas particulier de l’équilibre instantané entre la phase gazeuse et la phase solide sera ensuite considéré.

  • Alessandro Duca, Contrôlabilité globale en temps petit de l’équation de la chaleur non-linéaire via des contrôles bilinéaires

L’exposé présente une étude de l’équation de la chaleur non-linéaire (NLH) dans un tore de dimension quelconque en présence d’un contrôle multiplicatif externe « bilinéaire ». La première partie expose la contrôlabilité globale approchée en temps petit de (NLH) entre états de même signe. Le résultat est obtenu par une méthode de saturation inspirée par une théorie de contrôle géométrique récemment développée pour l’équation de Schrödinger et pour l’équation des ondes bilinéaires. Dans le cadre de l’équation (NLH), la technique permet d’obtenir différentes directions de contrôle par rapport aux cas existants et donc obtenir un résultat plus fort (d’un certain point de vue). La deuxième partie de l’exposé présente un résultat de contrôle exact « aux trajectoires » dans le cadre unidimensionnel. La partie finale aborde les problèmes ouverts concernant la contrôlabilité de l’équation (NLH).

Projet développé en collaboration avec Eugenio Pozzuoli et Cristina Urbani.

  • Louise Gassot, Limite sans dispersion pour l’équation de Benjamin-Ono

On s’intéresse à l’équation de Benjamin-Ono sur la droite avec un paramètre de dispersion petit. Le but de cet exposé est de décrire précisément la solution en tout temps lorsque le paramètre de dispersion est suffisamment petit. Cette solution peut présenter localement des oscillations rapides, ce qui est la manifestation d’un choc dispersif. La description fait intervenir une solution multivaluée de l’équation de Burgers sous-jacente, obtenue par la méthode des caractéristiques. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Elliot Blackstone, Patrick Gérard et Peter Miller.

  • Benoît Merlet, À propos de la fonctionnelle d’ Aviles–Giga non orientée. Travail conjoint avec Michael Goldman, Marc Pegon et Sylvia Serfaty

Nous introduirons dans l’exposé une version non orientée de la famille d’énergies d’Aviles–Giga qui apparait comme modèle pour la formation de zébrures en 2D. L’énergie s’applique à un champ de vecteur u de rotationnel nul qui représente la direction et la période des zébrures. Comme pour Aviles-Giga classique, l’énergie pénalise (un peu) les variations de u et (beaucoup) la différence 1-|u|. L’originalité du modèle \emph{non orienté} est qu’on identifie u(x) et -u(x) (ce qui demande de préciser la notion de « rotationnel nul »). Nous mettrons en évidence les parallèles entre les cas non orienté et classique et surtout les différences, parfois surprenantes.

  • Gisella Croce, Des résultats de rupture de symétrie

Dans ce séminaire nous exposerons des résultats de symétrie et perte de symétrie pour les minimiseurs de deux fonctionnelles.
La première fonctionnelle sera définie par

    \[{v\in W_0 ^{1,p} (B , |x|^{\alpha })}\to \frac{\displaystyle{\int_{B } |x|^{\alpha } \, |\nabla v|^p \, dx }}{\displaystyle{\left(\int_{B } |x|^{\gamma } \, |v|^q \, dx \right) ^{p/q}}}\]

pour p,q\geq 1, \gamma\geq \alpha>-N, où B est une boule centrée en l’origine. Nous montrerons un résultat de perte de radialité des minimiseurs, qui généralise celui obtenu par D. Smets, J. Su et M. Willem dans le cas p=2, \alpha=0.

Nous étudierons ensuite la fonctionnelle

    \[J(v)= \frac{\displaystyle\int_B |x|^{\alpha} |\nabla v|^2 \, dx }{\left( \displaystyle\int_{ B } |x|^{\alpha } |v|^q \, dx \right) ^{2/q} }\,,\quad\quad v\in W^{1,2} (B, |x|^\alpha), \quad \displaystyle \int_{B}|x|^{\alpha} v\, dx=0\,,\]

où B est la boule unité centrée en l’origine, 2\leq q< 2^* et {-N<\alpha< N}. Nous montrerons que les minimiseurs sont à symétrie sphérique. En dimension 2, cela implique la symétrie par rapport à un axe, par exemple l’axe {x_1}, si x=(x_1,x_2). Nous montrerons ensuite que les minimiseurs sont antisymétriques par rapport à l’axe x_2 pour q=2, et qu’ils ne le sont pas pour q suffisamment grand.
Ce problème a été motivé par des phénomènes de perte de symétrie montrés par P. Girão et T. Weth pour la fonctionnelle J dans le cas \alpha=0.

Les résultats exposés ont été obtenus en collaboration avec F. Brock, F. Chiacchio et A. Mercaldo.

  • Luc Molinet, Quelques remarques autour de l’équation de KP-I

L’équation de KP-I est une généralisation naturelle en dimension supérieure de l’équation de Korteweg-de Vries. Nous revisitons la preuve du caractère bien posé de l’équation de KP-I dans le plan. Notre objectif est double : simplifier la preuve existante et améliorer le résultat d’unicité. Nous montrons un résultat d’unicité inconditionnelle à faible régularité. Nous en profitons également pour montrer des résultats d’existence globale de solutions ayant divers comportements asymptotiques en espace. C’est un travail en commun avec Zihua Guo (Monash University, Melbourne)

  • Fabien Caubet, Optimisation de forme pour des problèmes de contact

Nous nous intéressons à l’analyse de sensibilité, notamment par rapport à la forme, de problèmes de contact. Nous considérons ici la loi de frottement de Tresca comme condition de bord. L’objectif est de résoudre, sans aucune procédure de régularisation/pénalisation, un problème d’optimisation (de forme) dans ce contexte non linéaire et non différentiable.
Plus précisément, en utilisant des outils d’analyse convexe et non lisse tels que l’opérateur proximal et la notion d’épi-différentiabilité d’ordre deux, nous montrons que la solution d’un problème de Tresca scalaire admet une dérivée de forme solution d’un problème de type Signorini. Nous caractérisons ensuite explicitement le gradient de forme de la fonctionnelle d’énergie correspondante et mettons ainsi en place une méthode de descente pour effectuer des simulations numériques.
Pour conclure, nous discuterons des difficultés éventuelles pour obtenir ce type de résultats dans le cas (plus concret) de l’élasticité linéaire.

  • Victor Nistor, Estimations uniformes pour équations elliptiques avec des coefficients aléatoires log-normaux

Nous étudions la régularité dans les espaces de Sobolev brisés de la solution de problèmes de transmission fortement elliptiques du deuxième ordre. Nous montrons que les « constantes » apparaissant dans les estimations classiques croissent au plus de manière polynomiale dans les coefficients de l’opérateur. Cela nous permet de prouver l’intégrabilité des solutions si les coefficients de l’équation sont des variables aléatoires log-normales. (Collaboration avec S. Labrunie et H. Mohsen).

  • Marianne Bessemoulin-Chatard, Hypocoercivité discrète pour un modèle cinétique non-linéaire de réaction

Dans cet exposé, je présenterai une discrétisation volumes finis d’un modèle cinétique 1D de réaction non linéaire, qui décrit un processus de recombinaison-génération à 2 espèces, proposé dans [Neumann, Schmeiser, KRM 2016]. Plus précisément, nous établissons la convergence en temps long des solutions approchées vers l’équilibre, à taux exponentiel. L’étude est basée sur une adaptation de la méthode d’hypocoercivité L^2 de [Dolbeault, Mouhot, Schmeiser, Trans. Amer. Math. Soc. 2015] pour une discrétisation du problème linéarisé. A partir de là, nous pouvons déduire un résultat local pour le problème non-linéaire discret. Comme dans le cadre continu, ce résultat requiert d’établir un principe du maximum, ce qui nécessite l’usage de flux numériques monotones.

Il s’agit d’un travail en collaboration avec Tino Laidin (Univ. Lille) et Thomas Rey (Univ. Nice).

  • Charles Dapogny, Optimisation de la forme des régions portant les conditions aux limites d’un problème physique

Très généralement, l’optimisation de formes vise à optimiser le design d’un domaine du plan ou de l’espace au regard d’un objectif et en respectant certaines contraintes, exprimés comme des fonctions du domaine.

Dans les applications, ces fonctions dépendent de la forme par la solution d’une équation aux dérivées partielles décrivant la physique du problème en jeu, qui est complémentée par des conditions aux limites décrivant l’influence du milieu extérieur. Ainsi une structure mécanique est caractérisée par son déplacement, solution du système de l’élasticité linéaire, équipé de conditions aux limites de Dirichlet homogènes (correspondant aux zones d’attache de la structure), ou de Neumann homogènes (bord libres d’effort) ou inhomogènes (bords sur lesquels une force est appliquée).

Le plus souvent, une seule partie du bord de la forme est optimisée — typiquement, le bord libre en mécanique des structures. L’objectif de ce travail est, au contraire, d’optimiser la répartition des régions du bord de la forme portant les conditions aux limites du problème physique en jeu.

Cette question est abordée sous deux aspects complémentaires :
– D’une part, on étudie la dérivée de forme d’une fonction du domaine au sens de Hadamard lorsque les déformations en jeu ne s’annulent pas au changement des conditions aux limites : on optimise ainsi comment les régions portant les conditions aux limites peuvent « glisser » le long du bord de la forme.
– D’autre part, on étudie la sensibilité de la solution du problème physique en jeu (et d’une quantité d’intérêt qui en dépend) lorsque l’on fait apparaître une petite région portant un certain type de conditions aux limites (par exemple, de Dirichlet) au sein d’une région portant d’autres conditions (par exemple, de Neumann) : ceci conduit à une sorte de « dérivée topologique » décrivant le changement de conditions aux limites sur le bord d’une forme donnée.

On discutera plusieurs applications numériques de ces développements.

Ces travaux ont été réalisés en collaboration avec Eric Bonnetier, Carlos Brito-Pacheco, Nicolas Lebbe, Edouard Oudet et Michael Vogelius.

  • Camille Laurent, Prolongement unique pour l’opérateur de Schrödinger

On s’intéresse à la question de prolongement unique suivante : une solution de l’équation de Schrödinger linéaire sur un domaine, qui s’annule sur un tout petit ouvert pendant un tout petit intervalle de temps, est-elle identiquement nulle ?
Dans la situation où l’opérateur de Schrödinger comporte un potentiel, on verra que la réponse à cette question dépend de sa régularité.
On présentera un résultat qui suppose le potentiel de classe Gevrey 2 en temps, relaxant dans ce contexte l’hypothèse d’analyticité du théorème de Tataru-Robbiano-Zuily-Hörmander.
Il s’agit d’un travail en collaboration avec Spyridon Filippas et Matthieu Léautaud.